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信号与系统 Matlab 实验和部分内容解析

CK...大约 6 分钟杂七杂八信号与系统MATLAB课程作业

信号与系统 Matlab 实验和部分内容解析

此内容为信号与系统课程课内大作业

一、Matlab 实验

1. 实验目的

  • 学会用MATLAB画连续离散系统零极点图;
  • 学会用MATLAB分析连续、离散系统的频率特性;
    1. 画出系统的幅频特性曲线
    2. 画出系统的相频特性曲线

2. 实验原理

连续系统

  1. sys = tf(num, den) : 传递函数, num 是系统分子向量, den 是系统分母向量
  2. 求系统零点极点图: 调用函数 pzmap(sys) 画出系统的零点极点图
  3. 求系统的幅频特性,并画出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线: 调用函数h = freqs(num, den, w) 根据系数向量计算返回模拟滤波器的复频域响应。freqs 计算在复平面虚轴上的频率响应h,角频率w确定了输入的实向量,因此必须包含至少一个频率点。

离散系统

  1. [z, p, k] = tf2zp(B, A) B 是系统分子向量,A 是系统分母向量, z, p, k 分别是零点、极点和增益
  2. 求系统零点极点图: 调用函数 zplane(B, A) 画出系统的零点极点图
  3. 求系统的幅频特性,并画出系统的幅频特性曲线和相频特性曲线: 调用函数h = freqz(num, den, w) 根据系数向量计算返回模拟滤波器的复频域响应。freqs 计算在复平面虚轴上的频率响应h,角频率w确定了输入的实向量,因此必须包含至少一个频率点。

3. 实验内容

分别求下面两个函数的零点极点图、幅频特性曲线和相频特性曲线

连续系统:H(s)=0.2s2+0.3s+1s2+0.4+1H(s) = \cfrac{0.2s^2 + 0.3s+1}{s^2 + 0.4+1}

离散系统:H(z)=z0.5zH(z) = \cfrac{z-0.5}{z}

实验源代码:

连续系统:

% 连续系统
clc;
clear;
a = [1 0.4 1];   % 分母向量
b = [0.2 0.3 1]; % 分子向量
% logspace 功能:生成从10的a次方到10的b次方之间按对数等分的n个元素的行向量。n如果省略,则默认值为50。
w = logspace(-1, 1);
sys = tf(b, a); %系统函数
figure(1); pzmap(sys); % 画出零点极点图
figure(2);freqs(b, a, w);% 画出幅频特性曲线和相频特性曲线

离散系统:

% 离散系统
clc;
clear;
a = [1, 0];   % 分母系数向量
b = [1, 0.5]; % 分子系数向量
% 求系统零点极点图
figure(1);zplane(b, a); 
% 求系统幅频特性曲线和相频特性曲线
figure(2);freqz(b, a, 400);

4. 实验结果

(1) 连续系统:H(s)=0.2s2+0.3s+1s2+0.4+1H(s) = \cfrac{0.2s^2 + 0.3s+1}{s^2 + 0.4+1}

零点极点图:

untitled3

幅频、相频特性曲线:

untitled2

(2) 离散系统:H(z)=z0.5zH(z) = \cfrac{z-0.5}{z}

零点极点图:

untitled

幅频、相频特性曲线:

untitled4

二、疑难点总结

1. 系统线性、时不变性的判定

统一判定公式:

判定线性系统条件:

T[ax1(t)+bx2(t)]=?T[ax1(t)]+T[bx2(t)] T[ax_1(t)+bx_2(t)] \overset{?}{=} T[ax_1(t)] + T[bx_2(t)]

判定时不变系统条件:

T[x(tt0)]=?y(tt0) T[x(t-t_0)] \overset{?}{=} y(t-t_0)

例:判定 $y(t) = x(t)^2 $是否为线性系统

解:

根据线性系统的判定条件:

T[ax1(t)+bx2(t)]=[ax1(t)+bx2(t)]2 T[ax_1(t) + bx_2(t)] = [ax_1(t)+bx_2(t)]^2

即:将原式中的 x(t)x(t)ax1(t)+bx2(t)ax_1(t) + bx_2(t) 所代替

T[ax1(t)]+T[bx2(t)]=[ax1(t)]2+[bx2(t)]2 T[ax_1(t)] + T[bx_2(t)] = [ax_1(t)]^2+[bx_2(t)]^2

二者并不相等,因此此系统为非线性系统。

例:判定 y(t)=cos(wt)x(t)y(t) = cos(wt)x(t) 是否为时不变系统

解:

根据时不变系统的判定条件:

T[x(tt0)]=cos(wt)x(tt0)y(tt0)=cos[w(tt0)]x(tt0) T[x(t-t_0)] = cos(wt)x(t-t_0)\\ y(t-t_0) = cos[w(t-t_0)]x(t-t_0)

二者并不相等,因此此系统为时变系统。

2. 流程图写出传递函数

三种基本变换:

  1. 串联
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ϕ(s)=G1(s)G2(s) \phi(s) = G_1(s)G_2(s)

  1. 并联
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img

ϕ(s)=G1(s)+G2(s) \phi(s) = G_1(s)+G_2(s)

  1. 反馈
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ϕ(s)=G1(s)1±G2(s) \phi(s) = \cfrac{G_1(s)}{1\pm G_2(s)}

梅森公式:

ϕ(s)=PkΔkΔ \phi(s)=\frac{\sum P_{k} \Delta_{k}}{\Delta}

  • Δ\Delta : 特征式

Δ=1Li+LiLjLiLjLk+ \Delta=1-\sum L_{i}+\sum L_{i} L_{j}-\sum L_{i} L_{j} L_{k}+\cdots

  • Li\sum L_{i} : 所有两两互不接触的回路增益之和
  • LiLj\sum L_{i} L_{j} : 所有回路 (每个单独的回路) 的回路增益之和
  • LiLjLk\sum L_{i} L_{j} L_{k} : 所有三二互不接触的回路增益之和
  • PkP_{k} : 从输入节点到输出节点的第 KK 条前向通路的增益
  • Δk\Delta_{k} :在 Δ\Delta 中,将与第 KK 条前向通路接触的回路去除后,余下的 Δ\Delta ,称作余子式

例: 利用梅森公式对下列流程图进行化简:

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

系统回路:

L1=G1(s)G2(s)H1(s)L2=G2(s)G3(s)H2(s)L3=G1(s)G2(s)G3(s)L4=G1(s)G4(s)L5=G4(s)H2(s) L_1 = -G_1(s)G_2(s)H_1(s)\\ L_2 = -G_2(s)G_3(s)H_2(s)\\ L_3 = -G_1(s)G_2(s)G_3(s)\\ L_4 = -G_1(s)G_4(s)\\ L_5=-G_4(s)H_2(s)

无相互不接触的回路,即:

LiLj=0 \sum L_iL_j=0

则,特征式为:

Δ=1Li=1+G1(s)G2(s)H1(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)+G4(s)H2(s) \Delta = 1-\sum L_i\\ =1+G_1(s)G_2(s)H_1(s)+G_2(s)G_3(s)H_2(s)+G_1(s)G_2(s)G_3(s)+G_1(s)G_4(s)+G_4(s)H_2(s)

前向通路:

P1(s)=G1(s)G2(s)G3(s)P2=G1(s)G4(s) P_1(s) = G_1(s)G_2(s)G_3(s) \\P_2 = G_1(s)G_4(s)

对应的余子式为:

Δ1=1Δ2=1 \Delta_1 =1\\ \Delta_2 = 1

则对应的传递函数是:

ϕ(s)=PkΔkΔ=P1+P2Δ=G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)1+G1(s)G2(s)H1(s)+G2(s)G3(s)H2(s)+G1(s)G2(s)G3(s)+G1(s)G4(s)+G4(s)H2(s) \phi(s)=\frac{\sum P_{k} \Delta_{k}}{\Delta} = \cfrac{P_1+P_2}{\Delta}\\ =\cfrac{G_1(s)G_2(s)G_3(s)+G_1(s)G_4(s)}{1+G_1(s)G_2(s)H_1(s)+G_2(s)G_3(s)H_2(s)+G_1(s)G_2(s)G_3(s)+G_1(s)G_4(s)+G_4(s)H_2(s)}

3. 由传递函数画流程图

从例题感悟绘制方法

例1:

H(s)=1s+3=Y(s)X(s) H(s)=\frac{1}{s+3}=\frac{Y(s)}{X(s)}

Let

E(s)=sY(s) E(s)=s Y(s)

Then,

1sE(s)=Y(s)E(s)=X(s)3Y(s) \begin{gathered} \cfrac{1}{s} E(s)=Y(s) \\ E(s)=X(s)-3 Y(s) \end{gathered}

image-20211211153159419

例二:

H(s)=1s2+3s+2=Y(s)X(s) H(s)=\cfrac{1}{s^{2}+3 s+2}=\cfrac{Y(s)}{X(s)}

(1) Direct-form Let

F(s)=sY(s)E(s)=sF(s)=s2Y(s) F(s)=s Y(s) \\ E(s)=s F(s)=s^{2} Y(s)

Then,

E(s)=X(s)3F(s)2Y(s) E(s)=X(s)-3 F(s)-2 Y(s)

image-20211211153348516

例三:

H(s)=2s2+4s6s2+3s+2H(s)=(1s2+3s+2)(2s2+4s6)=Y(s)X(s) Let Z(s)=1s2+3s+2X(s)(2s2+4s6)Z(s)=Y(s)F(s)=sZ(s)E(s)=sF(s)=s2Z(s)Y(s)=(2s2+4s6)Z(s)=2E(s)+4F(s)6Z(s) H(s)=\cfrac{2 s^{2}+4 s-6}{s^{2}+3 s+2} \\ H(s)=\left(\cfrac{1}{s^{2}+3 s+2}\right)\left(2 s^{2}+4 s-6\right)=\frac{Y(s)}{X(s)} \\ \text { Let } Z(s)=\cfrac{1}{s^{2}+3 s+2} X(s) \\ \left(2 s^{2}+4 s-6\right) Z(s)=Y(s) \\ F(s)=s Z(s) E(s)=s F(s)=s^{2} Z(s) \\ Y(s)=\left(2 s^{2}+4 s-6\right) Z(s) \\ =2 E(s)+4 F(s)-6 Z(s)

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